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诱导公式

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发表于 2017-2-27 13:59:18 | 显示全部楼层 |阅读模式 | 百度 
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诱导公式(英语:induction formula)是数学三角函数中将角度比较大的三角函数利用角度的周期性,转换为角度比较小的三角函数的变形公式。诱导公式分为以下六类:


公式一(函数关于2π的周期性)
  ${\displaystyle \sin(2k\pi +\alpha )=\sin \alpha ,k\in z}$   
  ${\displaystyle \cos(2k\pi +\alpha )=\cos \alpha ,k\in z}$   
  ${\displaystyle \tan(2k\pi +\alpha )=\tan \alpha ,k\in z}$   
  ${\displaystyle \cot(2k\pi +\alpha )=\cot \alpha ,k\in z}$   
  ${\displaystyle \sec(2k\pi +\alpha )=\sec \alpha ,k\in z}$   
  ${\displaystyle \csc(2k\pi +\alpha )=\csc \alpha ,k\in z}$   
                                                               

                                                               


公式二(函数关于π的周期性)
$  \sin(\pi +\alpha )=-\sin \alpha  $
$  \cos(\pi +\alpha )=-\cos \alpha  $
$  \tan(\pi +\alpha )=\tan \alpha  $
$  \cot(\pi +\alpha )=\cot \alpha  $
$  \sec(\pi +\alpha )=-\sec \alpha  $
$  \csc(\pi +\alpha )=-\csc \alpha  $

公式三(函数的奇偶性)
$  \sin(-\alpha )=-\sin \alpha  $
$  \cos(-\alpha )=\cos \alpha  $
$  \tan(-\alpha )=-\tan \alpha  $
$  \cot(-\alpha )=-\cot \alpha  $
$  \sec(-\alpha )=\sec \alpha  $
$  \csc(-\alpha )=-\csc \alpha  $


公式四(在单位圆中各三角函数线关于y轴的对称性)
$  \sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha  $
$  \cos(\pi -\alpha )=-\cos \alpha  $
$  \tan(\pi -\alpha )=-\tan \alpha  $
$  \cot(\pi -\alpha )=-\cot \alpha  $
$  \sec(\pi -\alpha )=-\sec \alpha  $
$  \csc(\pi -\alpha )=\csc \alpha  $

公式五(可看作在直角三角形中的转换)
$  {\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos \alpha } $
$  {\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha } $
$  {\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cot \alpha } $
$  {\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\tan \alpha } $
$  {\sec \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\csc \alpha } $
$  {\csc \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sec \alpha } $


公式六
$ { \sin \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=\cos \alpha } $
$  {\cos \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\sin \alpha } $
$  {\tan \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\cot \alpha } $
$  {\cot \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\tan \alpha } $
$  {\sec \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\csc \alpha } $
$  {\csc \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=\sec \alpha } $

内在联系
参见:象限角
值得注意的是,公式一至六其实是存在着内在联系的,可以写成以下形式:
$ { \sin \left({\frac {k\pi }{2}}\pm \alpha \right),k\in z} $
$  {\cos \left({\frac {k\pi }{2}}\pm \alpha \right),k\in z} $
$  {\tan \left({\frac {k\pi }{2}}\pm \alpha \right),k\in z} $
$  {\cot \left({\frac {k\pi }{2}}\pm \alpha \right),k\in z} $
$  {\sec \left({\frac {k\pi }{2}}\pm \alpha \right),k\in z} $
$  {\csc \left({\frac {k\pi }{2}}\pm \alpha \right),k\in z} $


可用如下口诀将联系记忆起来:“奇变偶不变,符号看象限”。意思为,当k为奇数时,sin变为cos,cos变为sin,tan变为cot,cot变为tan,sec变为csc,csc变为sec;而k为偶数时,三角函数则不变换。对于正负号,则要看最后角所在的象限进行判断,可以使用如下口诀:CAST,也可以使用ASTC (All Science Teachers Crazy) 用来记忆。

第一象限的 A 即是 All(全部皆正)。
第二象限的 S 即是 Sine & CoSecant(正弦以及余割为正)。
第三象限的 T 即是 Tangent & Cotangent(正切以及余切为正)。
第四象限的 C 即是 Cosine & SeCant(余弦以及正割为正)。



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