狭义相对论-相对论质量公式推导-相对论能量时间公式

J.Doe

相对论时间公式


时间膨胀（爱因斯坦延缓）
当物体运动时，它的一切（物理、化学变化）从参照系的角度来看都会变慢，就是时间膨胀（简称时慢）。等速运动的物体带在身上的时钟，用静系观察者的时钟去测量，不论运动方向，测量结果动钟都随着运动速度增加而变慢。光速运动的物体（如光子）在时间轴上的分量为零，它的时间是静止的。速度低于光速的物体，其时间膨胀的程度遵循洛仑兹变换 $ \ T={\frac  {T_{0}}{{\sqrt  {1-({\frac  {v}{c}})^{2}}}}} 。 $
$ 动系的时间膨胀率 = 洛伦兹因子, $
$爱因斯坦利用毕氏定理以及假设光速对任何相对等速运动的观察者都一样就推论出:

动钟计时值 t' = 静钟计时值t * 洛伦兹因子
假如有一个绝对静止系，显然，我们就可以测得各种物体的绝对时慢。所以处于相对静止系的我们，所得之一切时慢之观测值，都是相对时慢的观测值。例如由洛伦兹变换的假说去推论，在动系的观察者就测量出静系的时间膨胀: t'= 洛伦兹因子 t, 同时也测量出静系的长度缩收: x'=x/洛伦兹因子.

注意: 这里假设的时间膨胀率，绝非只因为多普勒效应让时频变低的视值。假设的时间膨胀率只跟受测物的相对速度有关，与近接或远离的方向无关。远离的多普勒效应时频视值[Fr=(C/(C+V'))F]是变慢的，但近接的多普勒效应时频视值[Fa=(C/(C-V'))F]是变快的。按照 爱因斯坦延缓假说，对静系观察者来说不论近接或远离，动系通过一段固定距离的时间都加长了. 也就是说通过那段固定距离的动系速度V'被静系观察者计算成比较慢的V, 慢率是洛伦兹因子, V=V'/洛伦兹因子. 所以静系观察者所测出的多普勒效应被爱因斯坦延缓假说修改成为: Fr=(C/(C+(V'/洛伦兹因子)))F 和 Fa=(C/(C-(V'/洛伦兹因子)))F.




相对论能量公式

$ 根据{\displaystyle m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}} $
公式，运动时物体质量增大，同时运动时将会有动能，质量与动能均随速度增大而增大。
$ 根据{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}} $


$ 得{\displaystyle {dE_{k}}=\mathbf {F} {dx}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}{dx}} $


$ 因为{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=v} $
$ ,所以{\displaystyle {dE_{k}}=vd(mv)=v^{2}dm+mvdv} $


$ 由{\displaystyle m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}} $
$ 公式改写而得{\displaystyle m^{2}c^{2}-m^{2}v^{2}=m_{0}^{2}c^{2}} $


$ 因为m,v都是t的函数，将该式两边对t微分，得{\displaystyle mvdv=c^{2}dm-v^{2}dm} $
，
$ 将结果带入上式{\displaystyle {dE_{k}}} $
，得
$ {\displaystyle {dE_{k}}=c^{2}dm} $


$ 对其积分，{\displaystyle {E_{k}}={\int _{m_{0}}^{m}c^{2}\,dm}=mc^{2}-m_{0}c^{2}} $


$ 这就是相对论下的动能公式。当速度为0时，{\displaystyle m=m_{0}} $
$ ，所以动能为0。{\displaystyle m_{0}c^{2}} $
$ 为物体静止时的能量。而总能量=静止能量+动能，因此总能量{\displaystyle E=mc^{2}} $






相对论质量公式推导

质速关系m=m0/√(1-v^2/c^2)有多种推导方法,其中一种可参考如下分析：

S’系(其中静止一小球a’,质量m0)相对S系(其中静止一小球a,质量m0)沿x轴正向以速度v运动,设a’相对S系的质量为m。




根据系统的对称性,a相对S’系的质量也为m；假设两小球碰撞后合为一体,相对S’系速度为u’,相对S系速度为u,在两参照系中动量守恒定律都成立,


S系：mv=(m+m0)u,S’系：-mv=(m+m0)u’.


由速度合成公式,u’=(u-v)/(1-uv/c^2),


而根据系统的对称性,u’=-u,可得：(v/u)^2-2v/u+(v/c)^2=0,


解得：v/u=1±√(1-v^2/c^2),由于v>u,故取v/u=1+√(1-v^2/c^2).所以m=m0/(v/u-1)=m0/√(1-v^2/c^2).



狭义相对论的基本原理
光速不变原理。
$ 在所有惯性系中，真空中的光速都等于{\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}}=} $
$ 299 792 458 m/s（{\displaystyle \mu _{0}} $
$ ：真空磁导率，{\displaystyle \epsilon _{0}} $
：真空介电常数），与光源运动无关。
狭义相对性原理。
在所有惯性系中，物理定律有相同的表达形式。这是力学相对性原理的推广，它适用于一切物理定律，其本质是所有惯性系平权。
狭义相对论，是仅描述平直线性的时空（指没有引力的，即闵可夫斯基时空）的相对论理论。牛顿的时空观认为运动空间是平直非线性的时空，可以用一个三维的速度空间来描述；时间并不是独立于空间的单独一维，而是空间坐标的自变量。
狭义相对论同样认为空间和时间并不是相互独立的，而它们应该用一个统一的四维时空来描述，并不存在绝对的空间和时间。在狭义相对论中，整个时空仍然是平直线性的，所以在其中就存在“全局惯性系”。狭义相对论将“真空中，光速为常数”作为基本假设，结合狭义相对性原理和上述时空的性质可以推出洛伦兹变换。



相对论力学
$ 在狭义相对论中牛顿第二定律F = ma应改写成下式（F = ma可解释为下式的特例） $
$ {\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}} $

$ 而动量P = Mv，其中M非定值，所以根据微分计算式d（uv）=udv+vdu，得 $
$ {\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d(M\mathbf {v} )}{dt}}={\frac {dM}{dt}}\mathbf {v} +M{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={m_{0}}{\frac {d\gamma }{dt}}\mathbf {v} +\gamma {m_{0}}{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}} $

得
$ {\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\gamma ^{3}{m_{0}}\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} \right)}{c^{2}}}\,\mathbf {v} +\gamma {m_{0}}\,\mathbf {a} .} $

由上式可见，加速度并不和力的方向一致，且随着速度逐渐趋向于光速，物体的质量趋向于无穷大，加速度趋向于零。