查看: 145|回复: 0

[等待归档] 声学波动方程及平面声波的基本性质简介

[复制链接]

16

主题

23

帖子

73

积分

注册会员

Rank: 2

积分
73
QQ
发表于 2017-10-15 15:30:39 | 显示全部楼层 |阅读模式 | 百度 
IP帐号的评分为88--时间:2608-07-15 03:22:57.kkxq123987的评分为53--时间:2160-08-02 00:09:37.Sam Eisenstat的评分为64--时间:2619-10-26 04:10:57!Dmitry Kamenets的评分为59--时间:2607-12-14 04:51:57,44152100的评分为59--时间:2612-11-28 13:10:27!modao520的评分为22--时间:2117-05-01 06:51:17。


来源:节选自《工程声学基础》讲义
作者:华中科技大学 黄其柏 教授


声学波动方程
声压随空间和时间变化的函数关系,称为声学波动方程。声波动作是一种宏观的物理现象,必然要满足以下三个基本物理定律:




  • 牛顿第二定律


  • 质量守恒定律


  • 热力学定律


运用以上定律,可以分别推导出媒质的运动方程、连续性方程和物态方程。


运动方程

连续性方程

物态方程

由上述三个方程可得一维线性声学波动方程为

同理可得三维线性声学波动方程为

如各方向辐射相等,一维球坐标的声学波动方程为

以上波动方程都是在忽略了二阶以上微量得到的,故为线性波动方程。当声压级很高时,声压和质点速度的幅值相对于大气压力和声速来说,已不能忽略不计,在这种情况下,线性化条件不能成立。但是,在工程领域中,线性化条件时满足的。


平面声波的基本性质


波动方程的解:


设一维平面声波波动方程

其解为:

其中,ω为声源简谐振动的圆频率。


带入波动方程得:

式中k=ω/c0称为波数。解上述常微分方程,可得复数解为:

式中,AB为常数,由边界条件确定。


设:

结合上式,可得:

式中第一项表示沿正x方向行进的波,第二项表示沿负x方向行进的波。


当声波传播途径上没有反射体时,没有反射波的出现,于是B=0,上式简化为

t=0 ,x=0 时,在媒质中产生的声压为pA=A,于是声压场中的声压为

代入运动方程中,可得

式中

平面声场的特性:


由平面声场中声压方程和质点速度方程来分析平面声场的特性:

1. 第一个方程(声压方程)代表沿正x方向行进的波。


t=t0时,声波位于x=x0处;t=t0+Δt时刻,声波传到x处。

代入声压方程可得:


由此可知,当t=t0+Δt时,位于x=x0+Δx处的声压等于当t=t0时位于x=x0时的声压,这表明,整个波形向前移动了一段距离,其值为

此式表征了沿x方向行进的波,为正向波。


2. 平面声波的波阵面是平面


在某一瞬时t0,位向φ0相同的各媒质质点的轨迹为波阵面。

解得

这种声波在传播过程中,等相位面是平面,称为平面波。平面声场任何位置处,声压和质点速度均是同相位的。


3. 声波以速度c0向外传播,质点在平衡位置附近来回振动


声波以速度c0向外传播,但是并不意味着媒质质点也以该速度传至远方。




可得,质点位移为

任意位置x=x0处,质点的位移为

式中,ξa都是常数,可见,质点只是在平衡位置附近来回振动。


4. 平面声波在传播过程中声能不衰减


平面声波在均匀的理想媒质中传播时,由于无粘性存在不会发生能量的耗损,所以声压幅值,质点速度幅值都是不随距离而改变的常数,也就是说声波在传播的过程中不会有任何衰减。


同时,平面声波传播时波阵面不会扩大,因而能量不会随距离的增加而分散。


5. 声阻抗率和媒质的特性阻抗


声阻抗率:媒质某一点的声压与质点速度的比值

声阻抗率一般时复数,实部称为声阻率,虚部称为声抗率。


实数部分反映了能量的损耗,但是,它代表的不是能量转化为热,而是代表着能量从一处向另一处的转移,即“传递耗能”。


将声压方程和速度方程代入声阻抗率方程

得平面前进声波的声阻抗率为

类似得平面反射声波的声阻抗率为

由此可见,在平面声场中,各位置声阻抗率的数值相同,且为一实数。说明在平面声场中各位置上均无能量的贮存,前一位置的能量可以完全传播到后一位置上去。


ρ0c0称为媒质的特性阻抗,其单位为瑞利(Ns/m?)


由于平面声波的声阻抗率与特性阻抗相等,说明平面声波处处与媒质的特性阻抗相匹配。

关联阅读:从声音的产生、传播和接收谈经典声学的发展史
流体运动的拉格朗日描述和欧拉描述及声波方程

声学理论基础知识:声波的产生、传播及接收
声学基础知识大全:八十多个基本概念,值得收藏

[size=13.3333px]声明:本微信转载文章出于非商业性的教育和科研目的,并不意味着支持其观点或证实其内容的真实性。版权归原作者所有,如转载稿涉及版权等问题,请立即联系我们,我们会予以更改或删除相关文章,保证您的权利!

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?立即注册

x


回复
百度搜狗360奇虎

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 立即注册

快速回复 返回顶部 返回列表